\( \) \( \)\( \) \( \)
Un vector bidimensional se utiliza para representar una cantidad en un plano. A la derecha, se muestra el vector A en dos dimensiones con componentes \( A_x \) y \( A_y \) que pueden escribirse como
\[ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} \]
o
\[ \vec{A} = < A_x \; , \; A_y > \]
La magnitud del vector \( \vec{A} \), escrita como \( |\vec{A}| \), se da por la fórmula
\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]
Un vector tridimensional se utiliza para representar una cantidad en un espacio tridimensional. A continuación, se muestra el vector \( \vec{A} \) en tres dimensiones con componentes \( A_x \), \( A_y \) y \( A_z \), que pueden escribirse como \[ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} \] o \[ \vec{A} = < A_x \; , \; A_y ; , \; A_z > \]
Refiriéndose a la figura 1 anterior, \( \theta \), el ángulo entre el vector y la dirección del eje x positivo, en dirección antihoraria, se llama la dirección del vector. Las relaciones entre \( \theta \), \( A_x = |\vec{A}| \cos \theta \) y los componentes \( A_x \) y \( A_y\) del vector \( \vec{A} \) son:
\( A_x = |\vec{A}| \cos \theta \)
\( A_y = |\vec{A}| \sin \theta \)
\( \tan \theta = \dfrac {A_y}{A_x} \)
Ejemplo 1
La magnitud de un vector bidimensional es 10 y su dirección \( \theta = 135^{\circ} \). Encuentre sus componentes \( A_x \) y \( A_y \).
Solución
\( A_x = |\vec{A}| \cos \theta = 10 \cos 135^{\circ} = -5 \sqrt{2} \)
\( A_y = |\vec{A}| \sin \theta = 10 \sin 135^{\circ} = 5 \sqrt{2} \)
Ejemplo 2
Encuentre la magnitud y dirección del vector
\( \vec{B} = 2 \vec{i} - 2 \sqrt{3} \vec{j} \)
Solución
Magnitud:
\( |\vec{B}| = \sqrt {2^2 + (- 2 \sqrt{3})^2 = 4 } \)
Dirección \( \theta \):