Se presentan soluciones y explicaciones detalladas a problemas de proyectiles. Estas soluciones pueden ser mejor comprendidas cuando se revisan primero las ecuaciones de proyectiles.

Soluciones Detalladas

Problema 1

Un objeto es lanzado a una velocidad de 20 m/s en una dirección que forma un ángulo de 25° hacia arriba con la horizontal.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?
b) ¿Cuál es el tiempo total de vuelo (entre el lanzamiento y tocar el suelo) del objeto?
c) ¿Cuál es el alcance horizontal (máximo x sobre el suelo) del objeto?
d) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto justo antes de que toque el suelo?

Solución al Problema 1:

a) Las fórmulas para los componentes V_x y V_y de la velocidad y los componentes x e y del desplazamiento son:
V_x = V₀ cos(θ)       V_y = V₀ sin(θ) - g t
x = V₀ cos(θ) t       y = V₀ sin(θ) t - (1/2) g t²
En el problema, V₀ = 20 m/s, θ = 25° y g = 9.8 m/s².
La altura del proyectil se da por el componente y, y alcanza su valor máximo cuando el componente V_y es igual a cero. Es decir, cuando el proyectil cambia de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo (ver figura arriba) y también la animación del proyectil.
V_y = V₀ sin(θ) - g t = 0
Resolver para t
t = V₀ sin(θ) / g = 20 sin(25°) / 9.8 = 0.86 segundos
Encuentra la altura máxima sustituyendo t por 0.86 segundos en la fórmula para y.
altura máxima y (0.86) = 20 sin(25°)(0.86) - (1/2) (9.8) (0.86) ² = 3.64 metros
b) El tiempo de vuelo es el intervalo de tiempo entre cuando el proyectil es lanzado: t1 y cuando el proyectil toca el suelo: t2. En t = t1 y t = t2, y = 0 (suelo). Por lo tanto,
V₀ sin(θ) t - (1/2) g t² = 0
Resolver para t
t(V₀ sin(θ) - (1/2) g t) = 0
dos soluciones
t = t1 = 0 y t = t2 = 2 V₀ sin(θ) / g
Tiempo de vuelo = t2 - t1 = 2 (20) sin(θ) / g = 1.72 segundos.
c) En la parte c) arriba encontramos el tiempo de vuelo t2 = 2 V₀ sin(θ) / g. El alcance horizontal es la distancia horizontal dada por x en t = t2.
alcance = x(t2) = V₀ cos(θ) t2 = 2 V₀ cos(θ) V₀ sin(θ) / g = V₀² sin(2θ) / g = 20² sin (2(25°)) / 9.8 = 31.26 metros

d) El objeto golpea el suelo en t = t2 = 2 V₀ sin(θ) / g (encontrado en la parte b) arriba).
Los componentes de la velocidad en t se dan por
V_x = V₀ cos(θ)       V_y = V₀ sin(θ) - g t
Los componentes de la velocidad en t = 2 V₀ sin(θ) / g se dan por
V_x = V₀ cos(θ) = 20 cos(25°)       V_y = V₀ sin(25°) - g (2 V₀ sin(25°) / g) = - V₀ sin(25°)
La magnitud V de la velocidad se da por
V = √[ V_x² + V_y² ] = √[ (20 cos(25°))² + (- V₀ sin(25°))² ] = V₀ = 20 m/s

Problema 2

Un proyectil es lanzado desde el punto O a un ángulo de 22° con una velocidad inicial de 15 m/s sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 10° con la horizontal. El proyectil golpea el plano inclinado en el punto M.
a) Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en golpear el plano inclinado.
b) Encuentra la distancia OM.

Solución al Problema 2:
a) Los componentes x e y del desplazamiento están dados por
x = V₀ cos(θ) t       y = V₀ sin(θ) t - (1/2) g t²
con θ = 22 + 10 = 32° y V₀ = 15 m/s
La relación entre las coordenadas x e y en el plano inclinado está dada por
tan(10°) = y / x
Sustituye x e y por sus expresiones anteriores para obtener
tan(10°) = ( V₀ sin(θ) t - (1/2) g t²) / V₀ cos(θ) t
Simplifica para obtener la ecuación en t
(1/2) g t + V₀ cos(θ) tan(10°) - V₀ sin(θ) = 0
Resuelve para t

Problema 3

Se lanza un proyectil a un ángulo de 30° para que caiga más allá del estanque de 20 metros de largo como se muestra en la figura.
a) ¿Cuál es el rango de valores de la velocidad inicial para que el proyectil caiga entre los puntos M y N?

Solución al Problema 3:
a) El rango está dado por x = V₀² sin(2θ) / g
Queremos que el rango sea mayor que OM y menor que ON, con OM = 10 + 20 = 30 m y ON = 10 + 20 + 10 = 40 m
30 < V₀² sin(2θ) / g < 40
30 g / sin(2θ) < V₀² < 40 g / sin(2θ)
√ [ 30 g / sin(2θ) ] < V₀ < √ [ 40 g / sin(2θ) ]
18.4 m/s < V₀ < 21.2 m/s

Problema 4

Una pelota es pateada con un ángulo de 35° con respecto al suelo.
a) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial de la pelota para que golpee un objetivo a 30 metros de distancia a una altura de 1.8 metros?
b) ¿Cuál es el tiempo para que la pelota alcance el objetivo?

Solución al Problema 4:
a)
x = V₀ cos(35°) t
30 = V₀ cos(35°) t
t = 30 / V₀ cos(35°)
1.8 = -(1/2) 9.8 (30 / V₀ cos(35°))² + V₀ sin(35°)(30 / V₀ cos(35°))
V₀ cos(35°) = 30 √ [ 9.8 / 2(30 tan(35°) - 1.8) ]
V₀ = 18.3 m/s
b)
t = x / V₀ cos(35°) = 2.0 s

Problema 5

Una pelota pateada desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 60 m/s y un ángulo θ con respecto al suelo alcanza una distancia horizontal de 200 metros.
a) ¿Cuál es el valor del ángulo θ?
b) ¿Cuál es el tiempo de vuelo de la pelota?

Solución al Problema 5:
a)
Sea T el tiempo de vuelo. Hay dos maneras de encontrar el tiempo de vuelo.
1) T = 200 / V₀ cos(θ) (rango dividido por el componente horizontal de la velocidad)
2) T = 2 V₀ sin(θ) / g (fórmula encontrada en ecuaciones de proyectiles)
Igualamos las dos expresiones
200 / V₀ cos(θ) = 2 V₀ sin(θ) / g
lo que da
2 V₀² cos(θ) sin(θ) = 200 g
V₀² sin(2θ) = 200 g
sin(2θ) = 200 g / V₀² = 200 (9.8) / 60²
Resuelve para θ para obtener
θ = 16.5°
b)
Tiempo de vuelo = 200 / V₀ cos(16.5°) = 3.48 s

Problema 6

Una pelota de 600 gramos es pateada con un ángulo de 35° con respecto al suelo con una velocidad inicial V₀.
a) ¿Cuál es la velocidad inicial V₀ de la pelota si su energía cinética es de 22 Joules cuando alcanza su altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

Solución al Problema 6:
a)
Cuando la pelota está en su altura máxima, el componente vertical de su velocidad es cero; por lo tanto, la energía cinética se debe a su componente horizontal V_x = V₀ cos(θ).
22 = (1/2) m (V_x)²
22 = (1/2) 0.6 (V₀ cos (35°))²
V₀ = (1 / cos (35°)) √(44/0.6) = 10.4 m/s
b)
Energía cinética inicial (justo después de patear la pelota)
E_i = (1/2) m V₀² = (1/2) 0.6 (10.4)² = 32.4 J
La diferencia entre la energía cinética inicial y la energía cinética cuando la pelota está a su altura máxima H es igual al incremento en la energía potencial
32.4 - 22 = m g H
H = 10.4 / (0.6 * 9.8) = 1.8 m

Problema 7

Un proyectil que parte desde el suelo golpea un objetivo en el suelo a una distancia de 1000 metros después de 40 segundos.
a) ¿Cuál es el valor del ángulo θ?
b) ¿A qué velocidad inicial fue lanzado el proyectil?

Solución al Problema 7:
a)
Vx = V₀ cos(θ) = 1000 / 40 = 25 m/s
El tiempo de vuelo = 2 V₀ sin(θ) / g (fórmula encontrada en ecuaciones de proyectiles)
= 40 s
V₀ sin(θ) = 20 g
Combina la ecuación anterior con la ecuación V₀ cos(θ) = 25 m/s encontrada anteriormente para escribir
tan(θ) = 20 g / 25
Usa una calculadora para encontrar θ = 82.7 °
b)
Ahora usamos cualquiera de las dos ecuaciones anteriores para encontrar V₀.
V₀ cos(θ) = 25 m/s
V₀ = 25 /cos (82.7 °) = 196.8 m/s

Problema 8

La trayectoria de un proyectil lanzado desde el suelo está dada por la ecuación y = -0.025 x² + 0.5 x, donde x e y son las coordenadas del proyectil en un sistema de ejes rectangulares.
a) Encuentra la velocidad inicial y el ángulo con el que se lanzó el proyectil.

Solución al Problema 8:
a)
y = tan(θ) x - (1/2) (g / (V₀ cos (θ))² ) x² (fórmula encontrada en ecuaciones de proyectiles)
por lo tanto, tan(θ) = 0.5 lo que nos da θ = arctan(0.5) = 26.5 °
-0.025 = -0.5 (9.8 / (V₀ cos (26.5 °))² )
Resuelve para V₀ y obtén V₀ = 15.6 m/s

Problema 9

Dos pelotas A y B de masas 100 gramos y 300 gramos respectivamente son empujadas horizontalmente desde una mesa de 3 metros de altura. La pelota A es empujada con una velocidad inicial de 10 m/s y la pelota B es empujada con una velocidad inicial de 15 m/s.
a) Encuentra el tiempo que tarda cada pelota en llegar al suelo.
b) ¿Cuál es la diferencia en la distancia entre los puntos de impacto de las dos pelotas en el suelo?

Solución al Problema 9:
a) Ambas pelotas están sujetas a la misma aceleración gravitacional y, por lo tanto, golpearán el suelo al mismo tiempo t, encontrado al resolver la ecuación
-3 = -(1/2) g t²
t = √ (3(2)/9.8) = 0.78 s
b) Distancia horizontal XA de la pelota A
XA = 10 m/s * 0.78 s = 7.8 m
Distancia horizontal XB de la pelota B
XB = 15 m/s * 0.78 s = 11.7 m
La diferencia en la distancia XA y XB está dada por
|XB - XA| = |11.7 - 7.8| = 3.9 m

Más Referencias y Enlaces

1. Calculadora y Solucionador de Movimiento Proyectil
2. Problemas de Proyectiles con Soluciones y Explicaciones
3. Soluciones y Explicaciones a Problemas de Proyectiles
4. Ecuaciones de Proyectiles con Explicaciones
5. Simulación Interactiva de Proyectiles.